Para poder conseguir push mail, sincronizacion de contactos y de calendarios sigan este tutorial:
4) Ingresamos nuestros datos como muestra la imagen, le damos a siguiente. NOTA: no hay que poner nada en el campo de "Dominio"
6) Finalmente elegimos las opciones que deseamos activar (mail, contactos, calendarios) y le damos a guardar.
De esta manera ,y a diferencia de la configuración que ofrece iOS por defecto, cada vez que llegue un mail a nuestra casilla de Gmail inmediatamente aparecerá en el teléfono. De la misma manera, se podrá tener sincronizados los contactos al estilo de "iCloud" con la ventaja de que serán accesibles desde dispositivos que no sean de la marca de la manzana. Lo mismo se aplica para los calendarios.